Article de cette rubrique en cours de rédaction!
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© "Tous droits réservés" - 2012 par Cédric Christian Bernard Gagneux né le 19/07/64.
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"En informatique, une file d’attente (queue) est un ensemble d’entités qui sont maintenues dans une séquence et qui peuvent être modifiées par l’ajout d’entités à une extrémité de la séquence et la suppression d’entités à l’autre extrémité de la séquence. Par convention, la fin de la séquence à laquelle les éléments sont ajoutés est appelée l’arrière, la queue ou l’arrière de la file d’attente, et la fin à laquelle les éléments sont supprimés est appelée la tête ou l’avant de la file d’attente, de manière analogue aux mots utilisés lorsque les gens font la queue pour attendre des biens ou des services. L’opération d’ajout d’un élément à l’arrière de la file d’attente est connue sous le nom "d’en queue", et l’opération de suppression d’un élément à l’avant est connue sous le nom de retrait de la file d’attente. D’autres opérations peuvent également être autorisées, y compris souvent une opération "peek" ou "front" qui renvoie la valeur de l’élément suivant à retirer de la file d’attente sans le mettre en file d’attente. Les opérations d’une file d’attente en font une structure de données FIFO (premier entré, premier sorti). Dans une structure de données FIFO, le premier élément ajouté à la file d’attente sera le premier à être supprimé. Cela équivaut à l’exigence selon laquelle, une fois qu’un nouvel élément est ajouté, tous les éléments qui ont été ajoutés auparavant doivent être supprimés avant que le nouvel élément puisse être supprimé. Une file d’attente est un exemple de structure de données linéaire ou de manière plus abstraite, d’une collection séquentielle." Extrait de l'article intitulé "File d’attente (type de données abstraites)", publié par Wikipédia, l'encyclopédie libre et en ligne.
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"Terminaison: Ce qui termine quelque chose met fin à quelque chose. Dans l'espace Partie terminale ou extrémité. Synonyme: bout". Extrait de l'article « terminaison », dans Trésor de la langue française informatisé, 2012.
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2.3) Les expressions algébriques et numériques des opérations ensemblistes séquentielles de suites récurrentes de déconcaténations:
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"En mathématiques, une suite récurrente (autonome) est une suite associée à une fonction (d’une ou plusieurs variables) appelée fonction de récurrence, laquelle permet de calculer chaque terme à partir des précédents par une relation de récurrence de la forme ∀ n, uₙ₊ₚ=f(uₙ uₙ₊₁, …uₙ₊ₚ₋₁). Il s’agit d’un système dynamique discret pouvant être défini par la relation et un ou plusieurs termes initiaux, ou comme suite associée à une autre par une transformation bijective." extrait de l'article "suite récurrente" de Wikipédia l'encyclopédie libre.
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Avant d'écrire les expressions de suite récurrente de déconcaténation donc sur plusieurs éléments appartenant à un ensemble séquentiel qui est une suite de nombres, nous rappelons tout d'abord les définitions et les expressions des opérations de déconcaténation sur un seul nombre, c'est-à-dire que l'opération de déconcaténation des éléments d'un ensemble séquentiel qui sont des chiffres d'un nombre formé par une suite de nombres concaténée est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments et qui est notée en général pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣w, donc une opération de déconcaténation qui est notée q⫲w, alors l'expression de l'opération de déconcaténation droite des deux nombres q et w du troisième nombre résultat de la concaténation des deux précédents qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux deux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:
- q⫲qw=⌊qw/10^(l(w))⌋=q, avec l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10, et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
- w⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(w))⌋*10^(l(qw)-l(q))=w, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
Ensuite et aussi elle correspond encore à une autre deuxième opération de "déconcaténation" dite gauche des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres qui sont des chiffres d'un nombre formé par une suite de nombres concaténée et qui est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N, q∣∣qw, donc q⫲qw ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, alors l'expression de la fonction de déconcaténation gauche des deux nombres q et w du troisième nombre concaténé qw, quelque soit leurs chiffres en valeur et en quantité est simultanément égale aux résultats des deux expressions q⫲qw et w⫲qw définis de la façon suivante:
- w⫲qw=⌊qw/10^(l(q))⌋=w, avec l(q)=⌊log(q)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre q en base 10, et si q=0 alors l(q)=⌊log(q+1)⌋+1.
- q⫲qw= qw-⌊qw/10^(l(q))⌋*10^(l(qw)-l(w))=q, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10; et l(w)=⌊log(w)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre w en base 10 et si w=0 alors l(w)=⌊log(w+1)⌋+1.
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Remarquons tout d'abord qu'il est possible d'écrire la quantité de chiffres que nous souhaitons déconcaténer au lieu d'écrire le nombre correspondant à cette quantité c'est-à-dire en reprenant les exemples précédents et tout d'abord avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la gauche du nombre c'est-à-dire son rang du premier chiffre le plus élevé par rapport à son dernier chiffre des unités situé à la droite du nombre, donc de la façon suivante pour l'opération de déconcaténation droite (partant du ou des chiffre(s) le plus à gauche du nombre déconcaténé et en déconcaténant le ou les chiffres à sa droite) indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à gauche du nombre:
- q⫲qw=⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋=⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋, avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.
- w⫲qw=qw-⌊qw/10^(l(qw)-n)⌋*10^(l(qw)-n))=qw-⌊qw/10^(⌊log(qw)⌋+1-n)⌋*10^(⌊log(qw)⌋+1-n)), avec l(qw)=⌊log(qw)⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre qw en base 10.
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Ensuite avec n correspondant au nombre de chiffres déconcaténés en partant de la droite du nombre c'est-à-dire son rang du premier chiffre le moins élevé donc celui des unités par rapport à son dernier chiffre de rang le plus élevé situé à la gauche du nombre, donc de la façon suivante pour la déconcaténation gauche indiquée par cette valeur de n égale à la quantité de chiffres déconcaténés en partant du premier chiffre situé à droite du nombre, le chiffre des unités:
- w⫲qw=⌊qw/10^n⌋
- q⫲qw=qw-⌊qw/10^n⌋*10^n
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Après ce rappel nécessaire des expressions des opérations de déconcaténation simples pour comprendre leur éventuelle utilisation dans les expressions des opérations de suite récurrente de déconcaténation, alors nous pouvons maintenant élaborer l'expression de ce que nous appelons comme précédemment la somme totale ou la concaténation totale signifiant sur tous les éléments d'un ensemble séquentiel, l'opération de la déconcaténation totale, celle que nous avions mentionnée à la fin de la sous-section précédente avec l'exemple de la concaténation totale de l'ensemble séquence SeqBᵢ₌₁₅=(1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 19; 0; 0; 0; 0; 13; 0; 15) soit l'opération de concaténation totale｜｜( n=1 → n=15: [(SeqYBᵢ₌₁₅)])= SeqYB'ᵢ₌₁=(10000000190000013015), une opération qui est implicite dans cette opération de déconcaténation totale correspondante plus précisément à l'opération de la déconcaténation totale droite ou de déconcaténation totale gauche récurrente en série, et qui sont successivement définies et notées comme suit en commençant par la déconcaténation totale droite:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ-nᵢ₌ₓ₋₁=1); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqNᵢ₌ₓ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌ₓ) ⊆ N* ↔ SeqNᵢ₌ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ-nᵢ₌ₓ₋₁=1}); ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ ⊆ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ SeqEᵢ₌ₓ ⊆ R*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ ⊆ R; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)', et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)…a(rₙ₊₆)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)| )=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) ), alors l'expression de l'opération de déconcaténation totale droite est représentée comme suit:
｜⫦｜( n=1→n=x: [(a(rₙ))]) = ( |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)| ⫲ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ)| ) (1) ↔ (1)'
｜⫦｜( n=1→n=x: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)] ) = ( ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-n))⌋; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₊₁))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |- n))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₊₂))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |- n₊₁))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₊₃))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |- n₊₂))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₊₄))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |- n₊₃))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₊₅))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |- n₊₄))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₊₆))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |- n₊₅))⌋)*10; ….⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(l(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| -n₌ₓ))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ₋₁)|/10^(l(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ₋₁) |- n₌ₓ₋₁))⌋)*10) (1)' ↔ (1)''
｜⫦｜( n=1→n=x: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)] )=( ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋+1-n))⌋; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋ +1-n₊₁))⌋ -(⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |⌋+1- n))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋+1 -n₊₂))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |⌋+1- n₊₁))⌋)*10; ⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋+1 -n₊₃))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |⌋+1- n₊₂))⌋)*10;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋+1 -n₊₄))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |⌋+1- n₊₃))⌋)*10;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋+1-n₊₅))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |⌋+1- n₊₄))⌋)*10;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋+1 -n₊₆))⌋ - (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) |⌋+1- n₊₅))⌋)*10;….⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|⌋ +1-n₌ₓ))⌋-(⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ₋₁)|/10^(⌊log(| a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ₋₁) |⌋+1-n₌ₓ₋₁))⌋)*10) (1)'' ↔ (1)'''
｜⫦｜( n=1→n=x: [(a(rₙ))]) = ( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)| ) (1)'''
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Reprenons l'exemple précédent de la représentation séquentielle ensembliste des nombres que précédemment nous avons concaténés en série, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'')=(2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1→n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV''ᵢ₌₂₄=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de déconcaténation totale droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15) est représentée comme suit:
｜⫦｜( n=1→n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)]) = ( |0,5125| ⫲ |0,7| ⫲ |0,8| ⫲ |0,9| ⫲ |0,1| ⫲ | 0,12| ⫲ |0,17|⫲ 0,19| ⫲ |0,1| ⫲ |0,2| ⫲ |0,3| ⫲ |11| ⫲ |13| ⫲ |0,4| ⫲ |15| ) (1) ↔ (1)'
｜⫦｜( n=1→n=24: [(｜｜(n=1→n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)])]) (1)' ↔ (1)''
｜⫦｜( n=1→n=24: [ SeqV''ᵢ₌₁=( 512578911217191231113415) ]) (1)'' ↔ (1)'''
｜⫦｜( n=1→n=15: [( SeqVᵢ₌₁₅)]) =｜⫦｜( n=1→n=24: [(|512578911217191231113415)] )=( ⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋+1-n))⌋; ⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋ +1-n₊₁))⌋ -(⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(| 512578911217191231113415 |⌋+1- n))⌋)*10; ⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(512578911217191231113415|⌋+1 -n₊₂))⌋ - (⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(| 512578911217191231113415 |⌋+1- n₊₁))⌋)*10; ⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋+1 -n₊₃))⌋ - (⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(| 512578911217191231113415|⌋+1- n₊₂))⌋)*10;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋+1 -n₊₄))⌋ - (⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415 |⌋+1- n₊₃))⌋)*10;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋+1-n₊₅))⌋ - (⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(| 512578911217191231113415 |⌋+1- n₊₄))⌋)*10;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋+1 -n₊₆))⌋ - (⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(| 512578911217191231113415 |⌋+1- n₊₅))⌋)*10;.....;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|⌋ +1-n₌₂₄))⌋-(⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(| 512578911217191231113415 |⌋+1-n₌₂₄₋₁₌₂₃))⌋)*10) (1)''' ↔ (1)''''
｜⫦｜( n=1→n=15: [( SeqV''ᵢ₌₁₅)])=(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5) (1)'''', l'expression de déconcaténation totale droite dont la représentation séquentielle ensembliste est notée SeqV'''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5).
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Même si nous n'utilisons pas l'expression de l'opération de déconcaténation totale gauche dans l'exemple de la fin du sous-titre précédent néanmoins nous l'écrirons tout comme nous écrirons les deux autres expressions de déconcaténation afin de mieux comprendre les différences entre toutes les expressions donc soit l'opération de déconcaténation totale gauche que nous notons et définissons comme suit:
∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | nᵢ₌ₓ-nᵢ₌ₓ₋₁=1); et pour les indices ₙ, ∀ n=nᵢ ∈ SeqIᵢ₌ₓ=(nᵢ₌₁; nᵢ₊₁; nᵢ₊₂; nᵢ₊₃; nᵢ₊₄; nᵢ₊₅; nᵢ₊₆; nᵢ₊₇... nᵢ₌ₓ) ⊆ N* ↔ SeqIᵢ₌ₓ=({ n=nᵢ ∈ [nᵢ₌₁; nᵢ₌∞] | nᵢ₌ₓ-nᵢ₌ₓ₋₁=1}); ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ⊆ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ SeqEᵢ₌ₓ⊆ R*, avec comme précédemment la lettre a dans la notation a(rₙ)=rₙ signifiant une fonction a sur R avec a(rₙ)=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ ⊆ R; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜(n=x → n=1: [a(rₙ)] )=(|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ₋₁)|...|a(rₙ₊₆)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₁)| ) (a₁) ↔ (a₁)', de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)…a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé noté a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), alors l'expression de l'opération de déconcaténation totale gauche est représentée comme suit:
｜⫣｜(n=1→ n=x: [(a(rₙ))]) = ( |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)| ⫲ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ)| ) (2) ↔ (2)'
｜⫣｜(n=1→n=x: [( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )] )=( (⌊ a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) /10^n⌋*10^(n -1)-⌊ a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) /10^n₊₁⌋*10^(n₊₁ -1))/10^(n -1);… (⌊ a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) /10^n₊ₓ⌋*10^(n₊ₓ -1)-⌊ a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ) /10^n₊ₓ₊₁⌋*10^(n₊ₓ₊₁ -1))/10^(n₊ₓ -1)) (2)' ↔ (2)''
｜⫣｜(n=1→ n=x: [(a(rₙ))]) = ( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)…a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)| ) (2)''. Nous remarquons que le résultat de cette dernière expression est de représentation inverse de Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)…a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), ainsi que de la représentation de l'expression précédente (1)''', puisque le résultat de l'expression (2)'' est représenté avec le premier chiffre des unités comme le dernier chiffre du nombre concaténé totalement Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)…a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), qui devient Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)
…a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)| ), la représentation ensembliste séquentielle de l'expression (2)''.
⁂
Reprenons l'exemple précédent de la représentation séquentielle ensembliste des nombres que précédemment nous avons concaténés en série, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'')=(2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1→n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1→n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV''ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de déconcaténation totale gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15) est représentée comme suit:
｜⫣｜( n=1→n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)]) = ( |0,5125| ⫲ |0,7| ⫲ |0,8| ⫲ |0,9| ⫲ |0,1| ⫲ | 0,12| ⫲ |0,17|⫲ 0,19| ⫲ |0,1| ⫲ |0,2| ⫲ |0,3| ⫲ |11| ⫲ |13| ⫲ |0,4| ⫲ |15| ) (2) ↔ (2)'
｜⫣｜( n=1→n=24: [(｜｜(n=1→n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)]) ]) (2)' ↔ (2)''
｜⫣｜( n=1→n=24: [ SeqV''ᵢ₌₁=( 512578911217191231113415) ]) (2)'' ↔ (2)'''
｜⫣｜( n=1→n=15: [( SeqV'ᵢ₌₁₅)]) =｜⫣｜( n=1→n=24: [(|512578911217191231113415|)])=
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^1⌋*10^(1 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^2⌋*10^(2-1))/10^(1 -1);
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^2⌋*10^(2 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^3⌋*10^(3-1))/10^(2-1);
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^3⌋*10^(3 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^4⌋*10^(4-1))/10^(3-1);
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^3⌋*10^(3 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^4⌋*10^(4-1))/10^(3-1);
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^4⌋*10^(4 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^5⌋*10^(5-1))/10^(4-1);
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^5⌋*10^(5 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^6⌋*10^(6-1))/10^(5-1);
(( (⌊ 512578911217191231113415/10^6⌋*10^(6 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^7⌋*10^(7-1))/10^(6-1);…; (( (⌊ 512578911217191231113415/10^24⌋*10^(24 -1)-⌊ 512578911217191231113415 /10^25⌋*10^(25-1))/10^(24-1)) (2)''' ↔ (2)''''
｜⫣｜(n=1→n=15: [( SeqVᵢ₌₁₅)]) =｜⫣｜(n=1→n=24:[(|512578911217191231113415|)])=(5;1; 4; 3; 1; 1; 1; 3; 2; 1; 9; 1; 7; 1; 2; 1; 1; 9; 8; 7; 5; 2; 1; 5) (2)'''', l'expression de déconcaténation totale gauche dont la représentation séquentielle ensembliste est notée SeqV''''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 4; 3; 1; 1; 1; 3; 2; 1; 9; 1; 7; 1; 2; 1; 1; 9; 8; 7; 5; 2; 1; 5). Nous remarquons que la représentation séquentielle ensembliste de l'expression de déconcaténation totale droite notée SeqV'''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5) (1)''''' est l'inverse de la représentation (2)'''', l'expression de déconcaténation totale gauche correspondant ainsi à l'opération d'inversion des chiffres d'un nombre.
⁂⁂⁂
Ainsi illustré précédemment nous constatons que les opérations de déconcaténation totale droite notée｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))]), et de déconcaténation totale gauche notée｜⫣｜(n=1→ n=x: [(a(rₙ))] ), correspondent à une déconcaténation gauche ou droite totale sur tous les éléments a(rₙ) d'un ensemble séquentiel qui sont concaténés pour former les chiffres d'un seul nombre et par conséquent sont des opérations retournant tous les éléments qui sont un des chiffres de tous les nombres concaténés précédemment, qui sont l'inverse mutuellement ce qui signifie que l'opération de déconcaténation totale gauche correspond aussi à l'opération d'inversion des chiffres d'un nombre dont nous développerons l'expression dans les chapitres consacrés à l'arithmétique des chiffres d'un nombre, de même que nous développerons ce que nous avions écrit précédemment à la sous-section 1.4) que l'opération de "déconcaténation" des éléments d'un ensemble séquentiel d'une suite de nombres qui est définie comme l'opération opposée à celle de la concaténation de ces mêmes éléments notée pour deux nombres q ∈ N* et w ∈ N*, q∣∣qw, donc q⫲qw ou qui est aussi notée pour les chiffres de ces mêmes nombres partiellement déconcaténés q⫳w, un concept opératoire que nous expliquerons plus en détail qu'ici dans ce chapitre ou nous n'utilisons pas cette opération particulière de déconcaténation sur une suite de chiffres d'une suite d'éléments, et dans le chapitre spécialement consacré aux opérations arithmétiques sur les chiffres d'un nombre en donnant la définition et l'expression de l'opération de déconcaténation partielle totale dont l'opérateur est noté｜⫳｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))]), et l'opération de suite récurrente de déconcaténation partielle dont l'opérateur est noté｜⫳｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))i]).
⁂⁂⁂
Comme l'opération de déconcaténation totale, l'opération de suite récurrente de déconcaténation correspond aussi à deux types d'opérations de suite récurrente de déconcaténations gauche et droite, mais comme son nom l'indique qui n'est plus totale, c'est-à-dire que dans son expression nous écrivons toutes les étapes calculatoires intermédiaires sous la forme d'un ensemble séquentiel comportant autant d'éléments que d'étapes calculatoires, c'est-à-dire sachant que la déconcaténation totale n'est pas une suite de nombre à indice de concaténation correspondant à chaque étape de la déconcaténation opérée, mais plus simplement la concaténation totale de tous les éléments indexés sur N* d'un ensemble SeqEᵢ dont le cardinal n(E)=Card(E)=x, alors l'opération de suite récurrente de déconcaténation qui est notée｜⫣｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i]), et｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i]), où i représente l'indice de déconcaténation, où (a(rₙ))i est une variable indexée représentant chaque nombre successif de la série, où n=1 est la limite inférieure de déconcaténation, et où n=∞ est la limite supérieure de déconcaténation; et elles résultent toutes les deux dans un ensemble séquentiel dont les éléments sont des chiffres des nombres partiellement déconcaténés, le premier étant non déconcaténé comme le nombre à déconcaténé dont l'opérateur de déconcaténation retourne comme celui de la somme sigma le nombre lui-même, et dont le dernier élément correspond à l'élément unique résultant de l'opération de déconcaténation totale, et soit en partant du premier chiffre des unités qui est noté a(rₙ₌₁) de la droite du nombre déconcaténé ou soit en partant du dernier chiffre noté a(rₙ₌ₓ) à gauche de ce même nombre. Mais l'opération de suite récurrente de déconcaténation est aussi différenciée de l'opération de déconcaténation totale par plus que la notation, car elle est subdivisée en deux types d'opérations de déconcaténation soit primaires soit secondaires.
⁂⁂
Donc nous commençons par écrire l'expression d'une opération de suite récurrente de déconcaténation primaire gauche en la définissant et en la notant de la façon suivante:
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜(n=x → n=1: [a(rₙ)] )=(|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ₋₁)|...|a(rₙ₊₆)|
∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₁)| ) (a₁) ↔ (a₁)', de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)…a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé noté a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), alors nous pourrions construire la relation de suite récurrente de déconcaténations primaire gauche donc une déconcaténation de la droite vers la gauche c'est-à-dire en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, correspondant à l'expression (1), de la façon suivante:
｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))i])=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁); ⌊ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| / 10^(l(|a(rₙ₊₁)| ))⌋;
⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(l(|a(rₙ₊₁)| ))⌋) /10^(l(|a(rₙ₊₂)| ))⌋; ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(l(|a(rₙ₊₁)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₂)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₃)| ))⌋; ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(l(|a(rₙ₊₁)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₂)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₃)| ))⌋) / 10^(l(|a(rₙ₊₄)| ))⌋ ; ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(l(|a(rₙ₊₁)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₂)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₃)| ))⌋) / 10^(l(|a(rₙ₊₄)| ))⌋)/ 10^(l(|a(rₙ₊₅)| ))⌋; ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(l(|a(rₙ₊₁)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₂)| ))⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₃)| ))⌋) / 10^(l(|a(rₙ₊₄)| ))⌋)/ 10^(l(|a(rₙ₊₅)| ))⌋ / 10^(l(|a(rₙ₊₆)| ))⌋; …/ 10^(l(|a(rₙ₊x)| ))⌋ ) (1)'↔ (1)'', avec l(a(rₙ))=⌊log(a(rₙ))⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre a(rₙ) en base 10, et si a(rₙ)=0 alors l(a(rₙ))=⌊log(a(rₙ)+1)⌋+1.
｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))i])=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁); ⌊ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| / 10^(log(|a(rₙ₊₁)| )+1)⌋; ⌊ (⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(log(|a(rₙ₊₁)| )+1)⌋) /10^(log(|a(rₙ₊₂)| )+1)⌋; ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| /10^(log(|a(rₙ₊₁)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₂)| )+1)⌋ ) /10^(l(|a(rₙ₊₃)| ))⌋; ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(log(|a(rₙ₊₁)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₂)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₃)| )+1)⌋) / 10^(log(|a(rₙ₊₄)| )+1)⌋ ; ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(log(|a(rₙ₊₁)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₂)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₃)| )+1)⌋) / 10^(log(|a(rₙ₊₄)| )+1)⌋)/ 10^(log(|a(rₙ₊₅)| )+1)⌋; ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(log(|a(rₙ₊₁)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₂)| )+1)⌋ ) /10^(log(|a(rₙ₊₃)| )+1)⌋) / 10^(log(|a(rₙ₊₄)| )+1)⌋)/ 10^(log(|a(rₙ₊₅)| )+1)⌋ / 10^(log(|a(rₙ₊₆)| )+1)⌋;…/10^(l(|a(rₙ₊x)| )+1)⌋) (1)''
⁂
Reprenons l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜(n=1→n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)])=｜｜(n=1→ n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV''ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation primaire gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=(|512578911217191231113415|; |512578911217191231113415| ⫲ |5|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3|; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2|; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5||⫲ |2| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5||⫲ |2| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8 ⫲ |7| ⫲ |5||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |5|) (1) ↔ (1)'
｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415|;
⌊ |512578911217191231113415| / 10^(l(|5| ))⌋;
⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5 ))⌋) /10^(l(|1| ))⌋;
⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋ ;
⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋;
⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ;
⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋;
⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ;
⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ ;
⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ / 10^(l(|9| ))⌋) ⌋) / 10^(l(|8| ))⌋)⌋;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ / 10^(l(|9| ))⌋) ⌋) / 10^(l(|8| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|7| ))⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ / 10^(l(|9| ))⌋) ⌋) / 10^(l(|8| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|7| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|5| ))⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ / 10^(l(|9| ))⌋) ⌋) / 10^(l(|8| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|7| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|5| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ / 10^(l(|9| ))⌋) ⌋) / 10^(l(|8| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|7| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|5| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(l(|5| ))⌋ ) /10^(l(|1| ))⌋ ) /10^(l(|4| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋)/ 10^(l(|1| ))⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) / 10^(l(|3| ))⌋) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋) ⌋ / 10^(l(|9| ))⌋) ⌋) / 10^(l(|8| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|7| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|5| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|2| ))⌋)⌋ ) / 10^(l(|1| ))⌋)⌋) / 10^(l(|5| ))⌋)⌋ ) (1)'↔ (1)'', avec l(a(rₙ))=⌊log(a(rₙ))⌋+1 qui est l'expression de la quantité de chiffres du nombre a(rₙ) en base 10, et si a(rₙ)=0 alors l(a(rₙ))=⌊log(a(rₙ)+1)⌋+1, alors en remplaçant l(a(rₙ)) dans (1)' nous obtenons l'expression de remplacement ⌊log(a(rₙ))⌋+1 dans (1)'' comme suit:
｜⫣｜(n=1→n=24: [ (a(rₙ))i ] )=( |512578911217191231113415|;
⌊ |512578911217191231113415| / 10^(log(|5| )+1)⌋;
⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋) /10^(log(|1| )+1)⌋;
⌊ ( ⌊ (⌊||512578911217191231113415||/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊||512578911217191231113415||/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋ ;
⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊||512578911217191231113415||/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋;
⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(l(|1| ))⌋ ;
⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋;
⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ;
⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(l(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ ;
⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ / 10^(log(|9| )+1)⌋) ⌋) / 10^(log(|8| )+1)⌋)⌋;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ / 10^(log(|9| )+1)⌋) ⌋) / 10^(log(|8| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|7| )+1)⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ / 10^(log(|9| )+1)⌋) ⌋) / 10^(log(|8| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|7| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|5| )+1)⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ / 10^(log(|9| )+1)⌋) ⌋) / 10^(log(|8| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|7| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|5| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ / 10^(log(|9| )+1)⌋) ⌋) / 10^(log(|8| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|7| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|5| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋)⌋ ;
⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ ( ⌊( ⌊ (⌊ ( ⌊ ( ⌊ (⌊|512578911217191231113415|/10^(log(|5| )+1)⌋ ) /10^(log(|1| )+1)⌋ ) /10^(log(|4| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋)/ 10^(log(|1| )+1)⌋ / 10^(log(|1| )+1)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) / 10^(log(|3| )+1)⌋) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋) ⌋ / 10^(log(|9| )+1)⌋) ⌋) / 10^(log(|8| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|7| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|5| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|2| )+1)⌋)⌋ ) / 10^(log(|1| )+1)⌋)⌋) / 10^(log(|5| )+1)⌋)⌋ ) (1)''↔ (1)'''
｜⫣｜( n=1→n=24: [( SeqVᵢ₌₁₅)i]) = (512578911217191231113415; 51257891121719123111341; 5125789112171912311134; 512578911217191231113; 51257891121719123111; 5125789112171912311; 512578911217191231; 51257891121719123; 5125789112171912; 512578911217191; 51257891121719; 5125789112171; 512578911217; 51257891121; 5125789112; 512578911; 51257891; 5125789; 512578; 512578; 51257; 5125; 512; 51; 5) (1)'''
⁂⁂
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)', et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)..a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|)=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé et noté a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), alors nous écrivons l'opération de suite récurrente de déconcaténations primaire droite correspondante à l'expression (2), de la façon suivante:
｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|;..⫲ |a(rₙ₌x)| ) (2) ↔ (2)'
｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ) (2)'
⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] ) =｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV''ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation primaire droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|;..⫲ |a(rₙ₌x)| ) (2) ↔ (2)'
｜⫦｜(n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415| ; |512578911217191231113415| ⫲ |5|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |1|; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |1|⫲ |2| ; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ; |512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|;
|512578911217191231113415|⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|⫲ |4| ;
|512578911217191231113415| ⫲|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|⫲ |4| ⫲ |1|;
|512578911217191231113415| ⫲|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|⫲ |4| ⫲ |1|⫲ |5|) (2)' ↔ (2)''
⁂
｜⫦｜(n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( 512578911217191231113415;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(512578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(512578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(12578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(12578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(2578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(2578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋);
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(578911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋);
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(|78911217191231113415|)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(|78911217191231113415|)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋);
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(8911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(8911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋);
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(911217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋);
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(11217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(11217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋);
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(1217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(1217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(217191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(17191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(17191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(7191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(7191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(191231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(91231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(91231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(1231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(1231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(231113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(31113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(31113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(1113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(1113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415)⌋+⌊Log(113415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) );
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(13415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(13415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(3415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(3415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(415)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ) ;
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(15)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(15)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) ));
|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(5)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(5)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) )) (2)'' ↔ (2)'''
｜⫦｜( n=1→n=24: [( SeqVᵢ₌₁₅)i]) = (512578911217191231113415; 12578911217191231113415; 2578911217191231113415; 578911217191231113415;
78911217191231113415; 8911217191231113415; 911217191231113415; 11217191231113415; 1217191231113415; 217191231113415; 17191231113415; 7191231113415; 191231113415; 91231113415; 1231113415; 231113415; 31113415; 1113415; 113415; 13415; 3415; 415; 15; 5) (2)'''
⁂⁂⁂
Mais jusque là nous n'avons qu'écrit l'expression d'une partie seulement de l'opération de suite récurrente de déconcaténation de tout nombre, car celle-ci est toujours équivalente à deux opérations de déconcaténations simultanées pour tout nombre dont la quantité de chiffres est supérieure à 1.C'est à dire, tout d'abord soit comme précédemment l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜( n=1→ n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)', et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)..a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|)=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé et noté a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), alors nous écrivons que la relation de suite récurrente de déconcaténations primaire droite représentée par l'expression notée (a), implique la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaire droite notée par l'expression (a'), toutes les deux opérations étant un processus de déconcaténation de la gauche vers la droite c'est-à-dire en partant du dernier chiffre après le premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, et une implication correspondant à l'expression (A), l'expression algébrique
non développée de la façon suivante:
｜⫦｜( n=1 → n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i] )=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ) (a) ⇒｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i]) = ( |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (a)' (A). Nous remarquons la notation algébrique inversée de (a) et (a)', avec |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| le nombre dont nous déconcaténons en série les chiffres, et dans les expressions (a) et (a'), la notation algébrique de |a(rₙ)| et qui correspondant aux chiffres déconcaténés. Il est situé inversement dans chacune des deux expressions (a) et (a'), pour exprimer toujours à gauche dans l'expression de la suite récurrente de concaténation qu'elle soit de suite récurrente de déconcaténation droite ou gauche, le nombre que nous retenons, c'est-à-dire soit le nombre déconcaténé diminué donc des chiffres que nous déconcaténons de ce nombre, dont la quantité de chiffres va en diminuant, mais qui est au départ supérieur à la quantité de chiffres déconcaténés qui est de valeur 1 toujours à l'origine jusqu'à être de quantité égale à celui du nombre déconcaténé à l'origine, dans l'expression (a) et que nous n'écrivons pas; soit le nombre correspondant aux chiffres que nous déconcaténons qui sera situé en premier dans (a)', puisque c'est cette valeur qui sera imbriquée dans la première étape de la suite récurrente de déconcaténation secondaire droite, c'est à dire qui est le premier objet de la récurrence tandis que nous n'écrivons pas le nombre déconcaténé contrairement à la déconcaténation primaire droite récurrente en série.
Nous rappelons que nous avons écrit sous sa forme algébrique développée l'opération de la suite récurrente de déconcaténations primaire droite (a) correspondante algébriquement puis numériquement dans un exemple à l'expression (2) ↔ (2)''', de la façon suivante:
｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|;..⫲ |a(rₙ₌x)| ) (2) ↔ (2)'''
｜⫦｜( n=1→n=24: [( SeqVᵢ₌₁₅)i]) = (512578911217191231113415; 12578911217191231113415; 2578911217191231113415; 578911217191231113415;
78911217191231113415; 8911217191231113415; 911217191231113415; 11217191231113415; 1217191231113415; 217191231113415; 17191231113415; 7191231113415; 191231113415; 91231113415; 1231113415; 231113415; 31113415; 1113415; 113415; 13415; 3415; 415; 15; 5) (2)'''
⁂
Mais c'est-à-dire aussi et ensuite, comme précédemment, mais différemment soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜(n=x → n=1: [a(rₙ)] )=(|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ₋₁)|...|a(rₙ₊₆)|
∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₁)| ), (a₁) ↔ (a₁)', de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)…a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé noté a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), alors nous écrivons que la relation de suite récurrente de déconcaténations primaires gauches représentées par l'expression notée (a'), implique la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaires gauches qui est notée par l'expression (a')', toutes les deux opérations étant un processus de déconcaténation de la droite vers la gauche c'est-à-dire en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé et en déconcaténant graduellement jusqu'au dernier chiffre après le chiffre des unités, et une implication correspondant à l'expression (A)', l'expression algébrique non développée de la façon suivante:
｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))i])=|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)| (a') ⇒｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))i])=|a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| (a')' (A)'. Nous remarquons encore la notation algébrique inversée de (a') et (a')', avec sans changement par rapport à précédemment,
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| le nombre dont nous déconcaténons en série les chiffres, et dans les expressions (a') et (a')', la notation algébrique de |a(rₙ)|, et correspondant au chiffre déconcaténé. Il est encore comme précédemment situé inversement dans chacune des deux expressions
(a') et (a')', pour exprimer toujours à gauche dans l'expression de la suite récurrente de concaténation qu'elle soit de suite récurrente de déconcaténation droite ou gauche, le nombre que nous retenons, c'est-à-dire soit le nombre déconcaténé diminué donc des chiffres que nous déconcaténons de ce nombre, dont la quantité de chiffres va en diminuant, mais qui est au départ supérieur à la quantité de chiffres déconcaténés qui est de valeur 1 toujours à l'origine jusqu'à être de quantité égale à celui du nombre déconcaténé à l'origine, dans l'expression (a') et que nous n'écrivons pas; soit le nombre correspondant aux chiffres que nous déconcaténons qui sera situé en premier dans l'expression (a')', la suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche puisque c'est cette valeur qui sera imbriquée dans la première étape de la suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche, c'est à dire qui est le premier objet de la récurrence tandis que nous n'écrivons pas le nombre déconcaténé contrairement à la suite récurrente de déconcaténation primaire gauche.
Nous rappelons que nous avons écrit sous sa forme algébrique développée l'opération de suite récurrente de déconcaténations primaire gauche (a') correspondante algébriquement puis numériquement dans un exemple à l'expression (1) ↔ (1)''', de la façon suivante:
｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))i])=(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|;..⫲ |a(rₙ₌x)| ) (1) ↔ (1)'''
｜⫣｜( n=1→n=24: [( SeqVᵢ₌₁₅)i]) = (512578911217191231113415; 51257891121719123111341; 5125789112171912311134; 512578911217191231113; 51257891121719123111; 5125789112171912311; 512578911217191231; 51257891121719123; 5125789112171912; 512578911217191; 51257891121719; 5125789112171; 512578911217; 51257891121; 5125789112; 512578911; 51257891; 5125789; 512578; 512578; 51257; 5125; 512; 51; 5) (1)'''
⁂
Tout d'abord ces deux expressions d'implication (a) ⇒ (a)' notée (A), et (a') ⇒ (a')' notée (A)',
signifient tout d'abord que toute suite récurrente de déconcaténation est équivalente à deux opérations de déconcaténation définie en général comme une opération de suite récurrente de déconcaténation primaire et une opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire; et si nous écrivons pour commencer l'expression du nombre résultant de la suite récurrente de déconcaténation qui n'a qu'un seul chiffre, c'est-à-dire les expressions correspondantes aux notations des expressions algébriques (a)' et (a')', alors c'est une indication que nous écrivons l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire, car celle-ci n'est pas autrement différenciée de la déconcaténation secondaire pour ne pas alourdir la notation et surtout pour bien montrer la propriété de la déconcaténation d'être toujours à la fois primaire et secondaire c'est-à-dire que la première impliquant systématiquement l'existence de la deuxième. Tandis que si nous écrivons pour commencer l'expression du nombre résultant de la déconcaténation dont les chiffres sont le nombre déconcaténé moins son premier ou son dernier chiffre, à la deuxième étape de l'opération de suite récurrente de déconcaténation, c'est-à-dire les expressions correspondantes aux notations des expressions algébriques (a) et (a'), alors c'est encore une indication que nous écrivons l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation primaire.
Ensuite ces deux expressions d'implications d'implication (a) ⇒ (a)' notée (A), et (a') ⇒ (a')'
notée (A)', signifient aussi la propriété que toute suite récurrente de déconcaténation primaire implique l'existence implicite d'une expression correspondante de la suite récurrente de déconcaténation secondaire, c'est à dire soit (a) ⇒(a)', soit (a') ⇒(a')'.
⁂
Après cette définition générale de l'expression de suite récurrente de déconcaténation secondaire maintenant nous écrivons comme précédemment les expressions de suite récurrente de déconcaténation secondaire donc les opérations de suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche et de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite, définie comme suit pour la première d'entre elles, la suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche:∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜(n=x → n=1: [a(rₙ)] )=(|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ₋₁)|...|a(rₙ₊₆)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₁)| )
(a₁) ↔ (a₁)', de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )
=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé noté a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), alors nous pourrions construire la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaire gauche c'est-à-dire en déconcaténant de la droite du nombre vers la gauche, donc en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, correspondant à l'expression (3), de la façon suivante:
⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; |a(rₙ₌₁)| ⫲..⫲ |a(rₙ₌x)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) (3) ↔ (3)'
｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌₁)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log( |a(rₙ₌₁)|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |a(rₙ₌₁)|)+1⌋+1); |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log( | |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log( |a(rₙ₌₁)|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |a(rₙ₌₁)|)+1⌋+1)|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( | |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log( |a(rₙ₌₁)|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |a(rₙ₌₁)|)+1⌋+1)|)+1⌋+1); …..) (3)'
⁂
Reprenons l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] ) =｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV''ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=(|5|; |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2|⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |8| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5|⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5|⫲ |2|⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5|⫲ |2|⫲ |1|⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ) (3) ↔ (3)'
｜⫣｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i])=( |5|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |5|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |5|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |15|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |15|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |3415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |3415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |13415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |13415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |1113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |1113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |31113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |31113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |1231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |1231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |91231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |91231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |7191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |7191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |17191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |17191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |1217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |1217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |11217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |11217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |911217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |911217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |8911217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |8911217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |78911217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |78911217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |578911217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |578911217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |2578911217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |2578911217191231113415|)+1⌋+1);
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |12578911217191231113415|)+1⌋+1)⌋*10^(⌊Log( |12578911217191231113415|)+1⌋+1) ) (3)'↔ (3)''
｜⫣｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i])=( |5|; |15|; |415|; |3415|; |13415|; |113415|; |1113415|; |31113415|;
|231113415|; |1231113415|; |91231113415|; |191231113415| ;|7191231113415|; |17191231113415|; |217191231113415|; |1217191231113415| ; |11217191231113415|;
|911217191231113415|; |8911217191231113415| ; |78911217191231113415|; |578911217191231113415|; |2578911217191231113415|; |12578911217191231113415| ; |512578911217191231113415| ) (3)''.
⁂⁂
Puis, nous pourrions construire la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaire droite correspondante à l'expression (4) ci-dessous, c'est à dire en déconcaténant de la gauche vers la droite en partant du premier chiffre à gauche du nombre déconcaténé encore noté a(rₙ₌₁), mais différemment du chiffre similairement noté précédemment dans l'expression de la suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche, dans l'expression d'une opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite donc une opération définie et notée de la façon suivante:
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)', et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)..a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|)=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé et noté a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), alors nous pourrions construire la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaire droite correspondante à l'expression (4), de la façon suivante:
｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌₁)|; |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; |a(rₙ₌₁)| ⫲...⫲ |a(rₙ₌x)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) ) (4) ↔ (4)'
｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=(|a(rₙ₌₁)|; ⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)|)⌋-2)⌋; ⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)|)⌋-2)⌋;
⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)|)⌋-2)⌋;
⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)|)⌋-2)⌋;
⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)|)⌋-2)⌋;⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)|)⌋-2)⌋;
⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)|)⌋-2)⌋;
⌊a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10^(⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)⌋+1-⌊Log(|a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)…a(rₙ₌x₋₁ )a(rₙ₌x)|)⌋-2)⌋ ) (4)'
⁂⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] ) =｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV''ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫦｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i])=(|5|;
|5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲|5| ⫲ |512578911217191231113415|) (4) ↔ (4)'
｜⫦｜(n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=(|5|; ⌊ |512578911217191231113415| /10^(⌊Log( |512578911217191231113415| ⌋+1-⌊Log( |5| |)⌋-2)⌋; ⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51|)⌋-2)⌋;
｜⫦｜( n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |5|; |51|; |512|; |5125|; |51257|; |512578|; |5125789|; |51257891|; |512578911|; |5125789112|; |51257891121|; |512578911217|; |5125789112171|; |51257891121719|; |512578911217191| ; |5125789112171912|; |51257891121719123|; |512578911217191231|; |5125789112171912311|; |51257891121719123111|; |512578911217191231113|; |5125789112171912311134|; |51257891121719123111341|; |512578911217191231113415| ) (4)''.
déconcaténations primaires, c'est à dire soit la relation de suite récurrente de déconcaténations primaires gauches donc une déconcaténation de la droite vers la gauche c'est-à-dire en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, correspondant à l'expression (1); ou soit la relation de suite récurrente de déconcaténations primaires droites correspondantes à l'expression (2). Puis après avoir écrit les expressions des opérations de suite récurrente de déconcaténations secondaires, c'est à dire soit la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaire gauche, en déconcaténant de la droite du nombre vers la gauche, donc en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, correspondant à l'expression (3); ou soit la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaires droites correspondantes à l'expression (4), nous constatons que cette représentation cohérente logiquement de l'expression algébrique de l'opération de suite récurrente de déconcaténation appliquée aux éléments appartenant à un ensemble séquentiel pourrait néanmoins être considérée comme invalide du seul fait qu'elles ne possèdent pas la propriété fondamentale de l'opération de déconcaténation d'augmentation du cardinal de l'ensemble séquentiel dont les éléments sont déconcaténés.
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|5125|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257|)⌋-2)⌋;⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512578|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|5125789|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257891|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512578911|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log( |5125789112|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257891121|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512578911217|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|5125789112171|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257891121719|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512578911217191|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|5125789112171912|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257891121719123|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512578911217191231|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|5125789112171912311|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257891121719123111|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|512578911217191231113|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|5125789112171912311134|)⌋-2)⌋;
⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|⌋+1-⌊Log(|51257891121719123111341|)⌋-2)⌋ ) (4)' ↔ (4)''
⁂⁂⁂
Après avoir écrit tout d'abord les expressions des opérations de suite récurrente dedéconcaténations primaires, c'est à dire soit la relation de suite récurrente de déconcaténations primaires gauches donc une déconcaténation de la droite vers la gauche c'est-à-dire en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, correspondant à l'expression (1); ou soit la relation de suite récurrente de déconcaténations primaires droites correspondantes à l'expression (2). Puis après avoir écrit les expressions des opérations de suite récurrente de déconcaténations secondaires, c'est à dire soit la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaire gauche, en déconcaténant de la droite du nombre vers la gauche, donc en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, correspondant à l'expression (3); ou soit la relation de suite récurrente de déconcaténations secondaires droites correspondantes à l'expression (4), nous constatons que cette représentation cohérente logiquement de l'expression algébrique de l'opération de suite récurrente de déconcaténation appliquée aux éléments appartenant à un ensemble séquentiel pourrait néanmoins être considérée comme invalide du seul fait qu'elles ne possèdent pas la propriété fondamentale de l'opération de déconcaténation d'augmentation du cardinal de l'ensemble séquentiel dont les éléments sont déconcaténés.
En effet si nous reprenons notre exemple précédent de l'ensemble séquentiel dont nous déconcaténons les chiffres de tous les éléments, soit SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont le cardinal est inscrit en indice et qui est Card(SeqVᵢ₌₁₅)=15, et après avoir nécessairement rappelé les étapes du processus préliminaire implicite par lequel nous effectuons toutes les opérations de déconcaténation, nous concaténons deux fois, soit une première fois la partie décimale et entière puis une deuxième fois tous les chiffres des éléments obtenus de cette première concaténation pour obtenir la nouvelle séquence d'un seul élément, un nombre dont tous les chiffres sont les chiffres de tous les éléments précédemment concaténés et séquences d'un seul élément donc sur laquelle l'opération de déconcaténation sera possible, soit les étapes du processus suivant:
- CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) ↔ CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15))ᵢ])=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15), pour la première opération (une suite récurrente, notée CONCATENTDEC(n=0→n=x: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]), ou x est la variable choisie correspondante à la quantité estimée de chiffres maximums de la partie décimale) de concaténation spéciale des chiffres de la partie décimale et de la partie entière omettant le 0, si celui-ci est le seul chiffre de la partie entière du nombre dont les chiffres sont concaténés;
- puis, pour la deuxième opération suivante soit l'opération de déconcaténation totale droite de la séquence précédente, SeqV'ᵢ₌₁₅,｜⫦｜( n=1 → n=15: [(SeqV'ᵢ₌₁₅)] ) ↔｜⫦｜(n=1 → n=24: [((5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) )] ) = SeqV''ᵢ₌₂₄(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5);
- et enfin pour la troisième opération suivante, soit la deuxième opération de concaténation de la séquence précédente, ｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] ) ↔｜｜(n=1 → n=24: [(SeqV''ᵢ₌₂₄)])=SeqV''ᵢ₌₁=(512578911217191231113415).
Puis après avoir précédemment et nécessairement par clarté, rappelé les étapes du processus de déconcaténation, alors nous constatons que le cardinal de l'ensemble séquentiel résultant de l'opération de déconcaténation totale gauche ou droite de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), représentées ci-dessous (2)'''' & (1)'''', est Card( ｜⫦｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] ))=24, et Card(｜⫣｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] ))=24.
- ｜⫣｜(n=1→n=24:[(|512578911217191231113415|)])=(5; 1; 4; 3; 1; 1; 1; 3; 2; 1; 9; 1; 7; 1; 2; 1; 1; 9; 8; 7; 5; 2; 1; 5) (2)'''', l'expression de déconcaténation totale gauche dont la représentation séquentielle ensembliste est notée SeqV''''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 4; 3; 1; 1; 1; 3; 2; 1; 9; 1; 7; 1; 2; 1; 1; 9; 8; 7; 5; 2; 1; 5).
- ｜⫦｜( n=1→n=24: [( SeqV''ᵢ₌₁₅)])=(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5) (1)'''', l'expression de déconcaténation totale droite dont la représentation séquentielle ensembliste est notée SeqV'''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5).
Ensuite si nous considérons le cardinal de l'ensemble séquentiel résultant de l'opération de suite récurrente de déconcaténation primaire gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), représentée ci-dessous (1)''', et qui est Card(Seq(｜⫣｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i]))=24, alors il est exactement égal au cardinal de l'opération précédente de déconcaténation totale gauche représentée précédemment par SeqV''''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 4; 3; 1; 1; 1; 3; 2; 1; 9; 1; 7; 1; 2; 1; 1; 9; 8; 7; 5; 2; 1; 5); et l'opération précédente de déconcaténation totale droite représentée par SeqV'''ᵢ₌₂₄=(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5).
- ｜⫣｜( n=1→n=24: [( SeqVᵢ₌₁₅)i]) = (512578911217191231113415; 51257891121719123111341; 5125789112171912311134; 512578911217191231113; 51257891121719123111; 5125789112171912311; 512578911217191231; 51257891121719123; 5125789112171912; 512578911217191; 51257891121719; 5125789112171; 512578911217; 51257891121; 5125789112; 512578911; 51257891; 5125789; 512578; 512578; 51257; 5125; 512; 51; 5) (1)'''.
Ensuite, le cardinal de l'ensemble séquentiel résultant de l'opération de suite récurrente de déconcaténation primaire droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), représentée ci-dessous (2)''', est Card(｜⫦｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i]))=24, et qui correspond exactement au cardinal de l'opération précédente de déconcaténation primaire gauche représentée par SeqAVᵢ₌₂₄=((512578911217191231113415; 51257891121719123111341; 5125789112171912311134; 512578911217191231113; 51257891121719123111; 5125789112171912311; 512578911217191231; 51257891121719123; 5125789112171912; 512578911217191; 51257891121719; 5125789112171; 512578911217; 51257891121; 5125789112; 512578911; 51257891; 5125789; 512578; 512578; 51257; 5125; 512; 51; 5) ).
- ｜⫦｜( n=1→n=24: [( SeqVᵢ₌₁₅)i]) = (512578911217191231113415; 12578911217191231113415; 2578911217191231113415; 578911217191231113415; 78911217191231113415; 8911217191231113415; 911217191231113415; 11217191231113415; 1217191231113415; 217191231113415; 17191231113415; 7191231113415; 191231113415; 91231113415; 1231113415; 231113415; 31113415; 1113415; 113415; 13415; 3415; 415; 15; 5) (2)'''.
Ensuite, le cardinal de l'ensemble séquentiel résultant de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), représentée ci-dessous (3)'', est Card(｜⫣｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i]))=24, et qui correspond exactement au cardinal de l'opération précédente de déconcaténation primaire droite représentée par SeqA'Vᵢ₌₂₄=(512578911217191231113415; 12578911217191231113415; 2578911217191231113415; 578911217191231113415; 78911217191231113415; 8911217191231113415; 911217191231113415; 11217191231113415; 1217191231113415; 217191231113415; 17191231113415; 7191231113415; 191231113415; 91231113415; 1231113415; 231113415; 31113415; 1113415; 113415; 13415; 3415; 415; 15; 5) .
- ｜⫣｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i])=( |5|; |15|; |415|; |3415|; |13415|; |113415|; |1113415|; |31113415|;|231113415|; |1231113415|; |91231113415|; |191231113415| ;|7191231113415|; |17191231113415|; |217191231113415|; |1217191231113415| ; |11217191231113415|;|911217191231113415|; |8911217191231113415| ; |78911217191231113415|; |578911217191231113415|; |2578911217191231113415|; |12578911217191231113415| ; |512578911217191231113415| ) (3)''
En effet encore le cardinal de l'ensemble séquentiel résultant de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation secondaire droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), représentée ci-dessous (4)'', est Card(｜⫦｜(n=1→n=24: [(a(rₙ))i]))=24, et qui correspond exactement au cardinal de l'opération précédente de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation secondaire gauche Seqᵢ₌₂₄VV'( |5|; |15|; |415|; |3415|; |13415|; |113415|; |1113415|; |31113415|;|231113415|; |1231113415|; |91231113415|; |191231113415| ;|7191231113415|; |17191231113415|; |217191231113415|; |1217191231113415| ; |11217191231113415|;|911217191231113415|; |8911217191231113415| ; |78911217191231113415|; |578911217191231113415|; |2578911217191231113415|; |12578911217191231113415| ; |512578911217191231113415| ).
- ｜⫦｜( n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |5|; |51|; |512|; |5125|; |51257|; |512578|; |5125789|; |51257891|; |512578911|; |5125789112|; |51257891121|; |512578911217|; |5125789112171|; |51257891121719|; |512578911217191| ; |5125789112171912|; |51257891121719123|; |512578911217191231|; |5125789112171912311|; |51257891121719123111|; |512578911217191231113|; |5125789112171912311134|; |51257891121719123111341|; |512578911217191231113415| ) (4)''.
⁂
Et donc à la question de comment faut-il déterminer cette expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation soit primaire soit secondaire pour qu'elle possède cette propriété d'augmenter le cardinal de l'ensemble séquentiel dont les éléments sont déconcaténés, nous répondons que la propriété d'être double d'une suite récurrente de déconcaténation correspond à cette propriété de l'augmentation du cardinal de l'opération d'une suite récurrente de déconcaténation. Mais il nous reste encore à déterminer quelles expressions de déconcaténations sont doublées dans cette expression de l'opération d'une suite récurrente de déconcaténation double, et nous rappelons que les expressions de déconcaténations sont organisées en deux types, c'est à dire, en définissant l'objet de la déconcaténation, le nombre à déconcaténer, soit comme précédemment avec l'expression de l'opération de concaténation totale sur les chiffres a(rₙ) d'un nombre, et qui est notée｜｜( n=1→ n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)', et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)..a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|)=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé et noté a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), alors, les expressions de la suite récurrente de déconcaténations doubles, soit droites correspondantes à l'expression (A') ci-dessous, ou soit gauche correspondante à (A')' encore ci-dessous, matérialisent cette propriété d'augmentation du cardinal des éléments de l'ensemble séquentiel déconcaténés, cet à dire qu'elles sont des expressions doublées dans l'expression générale d'une suite récurrente de déconcaténation comprenant à la fois l'expression de la suite récurrente de la concaténation primaire droite ou gauche et l'expression correspondante respectivement de la suite récurrente de la déconcaténation secondaire droite ou gauche, avec cette dernière expression de la suite récurrente de déconcaténation secondaire qui est liée au résultat de la première expression de la suite récurrente de déconcaténation primaire à chaque étape calculatoire sous forme d'un terme récurrent et donc d'expressions imbriquées que nous écrivons généralement tout d'abord sous la forme d'une expression algébrique non développée de la façon suivante:
｜⫦｜｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)|; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (A'), en rappelant que nous représentons algébriquement la déconcaténation droite primaire par la notation |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)|, c'est-à-dire le nombre déconcaténé avec la plus grande quantité de chiffres à l'origine puis restants à chaque déconcaténation en partant des chiffres de la gauche du nombre puis en déconcaténant chaque chiffre successivement jusqu'au chiffre des unités.
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))i])=(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)|; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ) (A')'.
Nous remarquons que dans les deux cas notés (A') et (A')' correspondants aux deux expressions possibles de l'opération de déconcaténation double, l'expression de la déconcaténation primaire s'écrit en premier suivit de l'expression de sa déconcaténation secondaire correspondante.
Ainsi donc nous pouvons écrire ces deux nouvelles expressions des opérations de la suite récurrente de déconcaténations doubles droites et correspondante à l'expression (A'), ainsi que l'expression de la suite récurrente de déconcaténations doubles gauches correspondantes à l'expression (A')', sachant que toutes les deux exhibent la propriété de déconcaténation double correspondant à la propriété d'augmenter le cardinal de l'ensemble séquentiel dont les éléments sont déconcaténés, et qui nous permettra de finalement continuer nos opérations à l'étape ou nous étions arrêté à la fin du chapitre précédent soit aux expressions (b₆)' ⇒ (b₇).
Ainsi donc nous pouvons écrire ces deux nouvelles expressions des opérations de la suite récurrente de déconcaténations doubles droites et correspondante à l'expression (A'), ainsi que l'expression de la suite récurrente de déconcaténations doubles gauches correspondantes à l'expression (A')', sachant que toutes les deux exhibent la propriété de déconcaténation double correspondant à la propriété d'augmenter le cardinal de l'ensemble séquentiel dont les éléments sont déconcaténés, et qui nous permettra de finalement continuer nos opérations à l'étape ou nous étions arrêté à la fin du chapitre précédent soit aux expressions (b₆)' ⇒ (b₇).
⁂
Donc nous écrivons maintenant tout d'abord l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténations double droite parce qu'elle est aussi d'abord celle qui nous servira pour revenir à notre étape correspondante aux expressions (b₆)' ⇒ (b₇), et que nous définissons de la façon suivante:
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜( n=1→n=x: [a(rₙ)] ) = ( |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ)|) (a₁) ↔ (a₁)', et de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)..a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|)=( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé et noté a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ), alors nous pourrions construire la relation de la suite récurrente de déconcaténations doubles droites correspondantes à l'expression (5) ci-dessous c'est-à-dire en partant de la gauche du nombre pour déconcaténer doublement jusqu'à la droite du nombre le chiffre des unités de la façon suivante:
｜⫦｜｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5) ↔ (5)'
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ; |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₌₁)| ⫲|a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|; ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ | |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|; ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ;
|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|; a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|; …
…; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x)|; a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5)' ↔ (5)''
Nous remarquons que dans notre notation algébrique de l'expression de l'opération de suite récurrente de la déconcaténation double droite, dont nous prenons l'exemple extrait de la notation algébrique ci-dessus, |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ; |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| , la partie de l'expression écrite à gauche du point-virgule représente le reste des chiffres non déconcaténés du nombre déconcaténé comme indiqué par le rappelle de sa représentation algébrique complète, c'est-à-dire non concaténée, |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|, et les singletons de déconcaténation à la droite de cette représentation algébrique complète du nombre sont écrit dans l'ordre de leur déconcaténation successive avec le premier correspondant au chiffre déconcaténé en premier et le dernier singleton de déconcaténation le plus à droite donc correspondant au chiffre déconcaténé en dernier: ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ; tandis que la partie de l'expression écrite à droite du point-virgule représente les chiffres déconcaténés qui sont représentés à gauche du nombre aussi représenté comme non déconcaténé, |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|, sont dans l'ordre dans lequel ils apparaissent avec tous les autres chiffres du nombre déconcaténé: |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₁)| parmi les autres chiffres du nombre noté |a(rₙ₌₁)a(rₙ₊₂)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₆)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₌ₓ)|.
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁(r)=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ);
Aₙ₊₁(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₂(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₃(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = | a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₂(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₄(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₃(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₅(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₄(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₆(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₅(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₇(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ )=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ );
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₆(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₈(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₇(r)/10|)⌋+1)⌋; ….
Aₙ₌ₓ(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₂)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=x;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌ₓ₋₁(r)/10|)⌋+1)⌋=|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|;
Aₙ₌ₓ₊₁(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₁)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=0 ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌ₓ(r)/10|)⌋+1)⌋= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) ) (5)''
⁂⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV'ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ;
|5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ;
|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|⫲ |4| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|⫲ |4| ⫲ |1| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲|5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7|⫲ |1|⫲ |9|⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1|⫲ |1| ⫲ |1|⫲ |3|⫲ |4| ⫲ |1|⫲ |5| ; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲|5| ⫲ |512578911217191231113415|) (5)↔(5)'
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁=|512578911217191231113415| ;
Aₙ₌₂=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)=12578911217191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁/10|)⌋+1)⌋=5
Aₙ₌₃=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋)⌋*10^(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂)-1⌋+1-⌊Log(512578911217191231113415)⌋) =2578911217191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₂/10|)⌋+1)⌋=51 ;
Aₙ₌₄=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₃)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₃)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=578911217191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₃/10|)⌋+1)⌋=512 ;
Aₙ₌₅= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₄)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₄)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 78911217191231113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₄/10|)⌋+1)⌋=5125 ;
Aₙ₌₆ =|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₅)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₅)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 8911217191231113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₅/10|)⌋+1)⌋=51257 ;
Aₙ₌₇=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₆)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₆)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 911217191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₆/10|)⌋+1)⌋=512578 ;
Aₙ₌₈= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₇)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₇)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 11217191231113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₇/10|)⌋+1)⌋=5125789;
Aₙ₌₉|=512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₈)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₈)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 1217191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₈/10|)⌋+1)⌋=51257891;
Aₙ₌₁₀= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₉)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₉)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 217191231113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₉/10|)⌋+1)⌋=512578911 ;
Aₙ₌₁₁=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₀)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₀)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 17191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₀/10|)⌋+1)⌋=5125789112 ;
|Aₙ₌₁₂=512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₁)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₁)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=7191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₁/10|)⌋+1)⌋=51257891121 ;
Aₙ₌₁₃=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₂)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₂)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 191231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|A₁₂/10|)⌋+1)⌋=512578911217 ;
Aₙ₌₁₄ = |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₃)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₃)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 91231113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₃/10|)⌋+1)⌋= 5125789112171;
Aₙ₌₁₅=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₄)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₄)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 1231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₄/10|)⌋+1)⌋=51257891121719 ;
Aₙ₌₁₆=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₅)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₅)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 231113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₅/10|)⌋+1)⌋= 512578911217191;
Aₙ₌₁₇= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₆)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₆)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)= 31113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₆/10|)⌋+1)⌋=5125789112171912;
Aₙ₌₁₈= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₇)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₇)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=1113415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₇/10|)⌋+1)⌋=51257891121719123;
Aₙ₌₁₉=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₈)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₈)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=113415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₈/10|)⌋+1)⌋= 512578911217191231;
Aₙ₌₂₀=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₉)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₁₉)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=13415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁₉/10|)⌋+1)⌋=5125789112171912311;
Aₙ₌₂₁=|512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₀)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₀)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=3415 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₂₀/10|)⌋+1)⌋=51257891121719123111 ;
Aₙ₌₂₂= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₁)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₁)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=415;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₂₁/10|)⌋+1)⌋=512578911217191231113 ;
Aₙ₌₂₃= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₂)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₂)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=15;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|A₂₂/10|)⌋+1)⌋=5125789112171912311134 ;
Aₙ₌₂₄= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₃)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₃)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=5 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₂₃/10|)⌋+1)⌋=51257891121719123111341 ;
Aₙ₌₂₅= |512578911217191231113415|-⌊|512578911217191231113415|/10^
(⌊log(|512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₄)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)⌋*10^(⌊log( |512578911217191231113415|)⌋+⌊Log(Aₙ₌₂₄)-1⌋+1-⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋)=0 ;
⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊log(|Aₙ₌₂₄/10|)⌋+1)⌋=512578911217191231113415) (5)'↔(5)''.
｜⫦｜｜⫦｜( n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415| ;|12578911217191231113415| ; |5| ; |2578911217191231113415| ; |51| ; |578911217191231113415| ; |512| ;|78911217191231113415|; |5125| ; |8911217191231113415| ; |51257| ; |911217191231113415| ; |512578| ; |11217191231113415| ; |5125789| ;|1217191231113415| ; |51257891|; |217191231113415| ; |512578911| ; |17191231113415| ; |5125789112| ; |7191231113415| ; |51257891121| ; |191231113415| ; |512578911217| ; |91231113415| ; |5125789112171|; |1231113415| ; |51257891121719| ; |231113415| ;
|512578911217191| ;|31113415| ; |5125789112171912| ; |1113415| ;|51257891121719123| ; |113415| ; |512578911217191231| ; |13415| ; |5125789112171912311| ; |3415| ; |51257891121719123111| ; |415| ;|512578911217191231113| ; |15| ; |51257891121719123
11134|; |5|; |51257891121719123111341|; 0; |512578911217191231113415| ) (5)''.
⁂
Remarquons tout d'abord que si la représentation ensembliste séquentielle de l'expression (5)'' correspond à la matérialisation de la propriété de l'opération de déconcaténation qui est celle de l'augmentation du cardinal de l'ensemble séquentiel à l'origine dont la représentation est SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), et dont le cardinal est Card(SeqVᵢ₌₁₅)= 15, et dont l'ensemble séquentiel de représentation de déconcaténation est SeqV''ᵢ₌₂₄(5; 1; 2; 5; 7; 8; 9; 1; 1; 2; 1; 7; 1; 9; 1; 2; 3; 1; 1; 1; 3; 4; 1; 5), soit donc maintenant un nouveau cardinal augmenté et noté Card(Seqᵢ₌₅₀(｜⫦｜｜⫦｜( n=1 → n=24: [(a(rₙ))i]))=49, ce n'est pas pour autant exemplifiant la propriété d'augmentation du cardinal que nous cherchions à illustrer. En effet grâce à cette dernière expression (5)'' exemplifiant l'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite, nous constatons qu'en fait nous avons écrit l'expression simultanément de l'insertion avant-dernière et de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite qui n'est pas exactement l'expression de l'opération de suite récurrente double droite que nous recherchions, mais de celle que nous appelons l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite augmentée.
Avant même d'envisager une nouvelle expression numérique rectifiant le résultat de l'avant dernier étape, nous envisageons que la solution la plus simple est tout d'abord de considérer le dernier résultat de cette suite récurrente de déconcaténation comme toujours égale au nombre déconcaténé à l'origine donc le résultat du processus de la suite récurrente de la déconcaténation de tous ces chiffres, qui est équivalent à un processus de "reconcaténation" de tous ses chiffres au fur et à mesure de leur déconcaténation. Mais aussi la solution est ensuite d'éliminer la valeur insérée pour ne plus effectuer l'opération d'insertion correspondante si l'on considère descriptivement et algorithmiquement seulement et pas numériquement encore que l'opération de suite récurrente de déconcaténation lorsqu'elle devient double élimine toujours la dernière étape de la première des deux déconcaténations simultanées, c'est-à-dire la déconcaténation primaire dont la dernière étape calculatoire est toujours égale à 0. Donc nous réécrivons alors, mais seulement dans le chapitre 82 consacré aux autres opérations arithmétiques sur les chiffres, l'expression algébrique générale de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite et comme elle est représentée avec le nombre concaténé écrit à la première et dernière étape calculatoire de la suite, alors nous appelons cette suite récurrente de déconcaténation double en général droite ou gauche, "l'ouroborosuite" (c'est seulement pour une raison figurative mnémotechnique que nous créons ce mot-valise à partir du terme d’Ouroboros, le nom d'un symbole représentant un serpent qui avale sa queue, comme les serpents ratiers, qui se consomment eux-mêmes; et non pas pour des croyances théosophiques ou pour un quelconque effet comique contenu dans l'effet cosmique si théosophique était mon intention, tel un mot ouroboros avalant ces propres lettres.) récurrente de déconcaténation double, mais aussi, et surtout pour mieux la différencier de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation plus ordinaire consistant figurativement en fait en son corps uniquement c'est à dire correspondant figurativement soit sans le nombre déconcaténé écrit à la première et dernière étape calculatoire de la suite récurrente de déconcaténation double, ou soit avec seulement le nombre déconcaténé écrit à la première étape calculatoire de la suite récurrente de déconcaténation double, et que nous notons et définissons respectivement pour le première et la deuxième de la façon suivante:
｜⫦｜｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5') ↔ (5)'
｜⫦｜｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5'') ↔ (5)'
Donc maintenant nous réécrivons l'expression algébrique (5') et (5'') équivalente à l'expression (5)' ci-dessus, encore sous une forme algébrique donc générale, mais cette fois-ci numériquement calculable, de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite en deux parties, en commençant par la première réécriture de l'opération de suite récurrente double sous la forme de la tête et du corps seulement de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double, c'est à dire sans la queue dans la tête de l'ouroborosuite correspondant figurativement soit aux deux dernières étapes calculatoires de la suite récurrente de déconcaténation double, qui sont l'avant-dernière étape résultante dans la valeur de 0 et la dernière étape résultante dans la valeur du nombre déconcaténé à l'origine, c'est-à-dire écrit à la première étape, et qui est doublement déconcaténé puis reconcaténé simultanément; ou correspondant aussi et dans la deuxièmes partie de la seconde réécriture de l'opération de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double, sans la première étape calculatoire de la suite récurrente, c'est-à-dire sans la tête figurativement correspondante au nombre à déconcaténé de la première étape calculatoire.
Nous appelons ces deux suites récurrente de déconcaténation double droite d'un terme rajouté de non augmentée par rapport à ce que nous avions écrit et illustré par un exemple précédemment la suite de récurrence de déconcaténation double droite augmentée, et nous définissons et notons cette première réécriture de l'opération de suite récurrente double sous la forme de la tête et du corps seulement de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double droite de la façon suivante en rappelant la notation précédente:
｜⫦｜｜⫦｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ; |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)|; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) ((5') ↔ (5)') ↔ (5')'
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁(r)=a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ);
Aₙ₊₁(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₌₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |Aₙ₌₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋); ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₂(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₃(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = | a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₂(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₄(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₃(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₅(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₄(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₆(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₅(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₇(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ )=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ );
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₆(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₈(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₇(r)/10|)⌋+1)⌋; ….
Aₙ₌ₓ(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₂)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=x;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌ₓ₋₁(r)/10|)⌋+1)⌋=|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5')'
⁂⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV'ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫦｜｜⫦｜( n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415| ;|12578911217191231113415| ; |5| ; |2578911217191231113415| ; |51| ; |578911217191231113415| ; |512| ;|78911217191231113415|; |5125| ; |8911217191231113415| ; |51257| ; |911217191231113415| ; |512578| ; |11217191231113415| ; |5125789| ;|1217191231113415| ; |51257891|; |217191231113415| ; |512578911| ; |17191231113415| ; |5125789112| ; |7191231113415| ; |51257891121| ; |191231113415| ; |512578911217| ; |91231113415| ; |5125789112171|; |1231113415| ; |51257891121719| ; |231113415| ; |512578911217191| ;|31113415| ; |5125789112171912| ; |1113415| ;|51257891121719123| ; |113415| ; |512578911217191231| ; |13415| ; |5125789112171912311| ; |3415| ; |51257891121719123111| ; |415| ;|512578911217191231113| ; |15| ; |5125789112171912311134|; |5|; |51257891121719123111341|) (5')''
⁂⁂⁂
Puis nous définissons et notons dans cette deuxième partie la seconde réécriture de l'opération de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double, sans la première étape calculatoire de la suite récurrente, c'est-à-dire sans la tête figurativement correspondante au nombre à déconcaténé de la première étape calculatoire, ainsi que sans le dernier et l'avant-dernier terme de cette suite récurrente respectivement égaux à 0 et au nombre à déconcaténé à l'origine puis reconcaténé de la façon suivante en rappelant la notation précédente, soit:
｜⫦｜｜⫦｜( n=1→n=x: [( a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))i])=( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) ((5'') ↔ (5)')↔(5'')'
｜⫦｜｜⫦｜(n=1 → n=x: [(a(rₙ))i])=(Aₙ₌₁(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₁(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₌₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |Aₙ₌₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₂(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = | a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₁(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₃(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₂(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₄(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₃(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₅(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋);
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₄(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₆(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ )=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( Aₙ₊₅(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ );
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₅(r)/10|)⌋+1)⌋;
Aₙ₊₇(r)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋ ;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₊₆(r)/10|)⌋+1)⌋; ….
Aₙ₌ₓ₋₁(r)= |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₂)| )-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log( |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₆)|...|a(rₙ₌ₓ₋₂)|)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋) = |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|-⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₂)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)⌋*10^(⌊log(|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|)⌋+⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₂)-1⌋+1-⌊Log(a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ))⌋)=x;
⌊|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)|/10^(⌊log(|Aₙ₌ₓ₋₂(r)/10|)⌋+1)⌋=|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ) (5'')'
⁂⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''') ⇒ (1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV'ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double droite des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫦｜｜⫦｜( n=1 → n=24: [(a(rₙ))i])=( |12578911217191231113415| ; |5| ; |2578911217191231113415| ; |51| ; |578911217191231113415| ; |512| ;|78911217191231113415|; |5125| ; |8911217191231113415| ; |51257| ; |911217191231113415| ; |512578| ; |11217191231113415| ; |5125789| ;|1217191231113415| ; |51257891|; |217191231113415| ; |512578911| ; |17191231113415| ; |5125789112| ; |7191231113415| ; |51257891121| ; |191231113415| ; |512578911217| ; |91231113415| ; |5125789112171|; |1231113415| ; |51257891121719| ; |231113415| ; |512578911217191| ;|31113415| ; |5125789112171912| ; |1113415| ;|51257891121719123| ; |113415| ; |512578911217191231| ; |13415| ; |5125789112171912311| ; |3415| ; |51257891121719123111| ; |415| ;|512578911217191231113| ; |15| ; |5125789112171912311134|; |5|; |51257891121719123111341| ) (5')''
⁂⁂⁂⁂⁂⁂
Ensuite, après avoir écrit et illustré précédemment le premier type d'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite, soit l'opération d'ouroborosuite récurrente de déconcaténation double droite augmentée et ses deux corrections possibles, soit la suite récurrente de déconcaténation double droite non augmentée dont les premier et dernier termes du nombre à déconcaténé puis déconcaténé et reconcaténé ont été éliminé, ou dont seul le premier terme du nombre à déconcaténé l'à été, en mentionnant seulement la troisième correction possible qu'est l'opération d'ouroborosuite récurrente de déconcaténation double droite qui répète seulement le nombre déconcaténé à la première et à la dernière étape calculatoire de la suite récurrente que nous développerons au chapitre 82, nous écrivons maintenant l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double gauche, que nous savons désormais être en fait celle de l'opération de l'ouroborosuite récurrente de déconcaténation double gauche augmentée, et que nous définissons et notons de la façon suivante:
∀ r=rₙ ∈ SeqEᵢ₌ₓ=(rₙ₌₁; rₙ₊₁; rₙ₊₂; rₙ₊₃; rₙ₊₄; rₙ₊₅; rₙ₊₆; rₙ₊₇... rₙ₌ₓ) ⊆ R* ↔ SeqEᵢ₌ₓ=(r=rₙ ∈ [rₙ₌₁; rₙ₌ₓ] | rₙ₌ₓ₊₁ ∧ rₙ₌ₓ ⇒ nᵢ₌ₓ₊₁-nᵢ₌ₓ=1 avec n=ₙ) ; ∀ a(rₙ)=rₙ ∈ R ∧ a(rₙ₌₁)=rₙ₌₁ ∈ R*; soit l'expression de l'opération de concaténation totale notée｜｜(n=x → n=1: [a(rₙ)] )=(|a(rₙ₌ₓ)| ∣∣ |a(rₙ₌ₓ₋₁)|...|a(rₙ₊₆)| ∣∣ |a(rₙ₊₅)| ∣∣ |a(rₙ₊₄)| ∣∣ |a(rₙ₊₃)| ∣∣ |a(rₙ₊₂)| ∣∣ |a(rₙ₊₁)| ∣∣ |a(rₙ₌₁)| )
(a₁) ↔ (a₁)', de représentation Seq(a(rₙ))ᵢ₌₁=( |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)| )
=( a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁) )=a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), avec x la quantité de chiffres du nombre concaténé noté a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁), alors nous pourrions construire la relation de la suite récurrente de déconcaténation double gauche c'est-à-dire en déconcaténant de la gauche du nombre vers la droite, donc en partant du premier chiffre a(rₙ₌₁) des unités de la droite du nombre déconcaténé, jusqu'au dernier chiffre à gauche du nombre concaténé et correspondant à l'expression (6), de la façon suivante:
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))i])=( |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)|; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) (A')' ↔ (6)
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ))i])=( |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ; |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)|; |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ; |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)|; |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)|; |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ | |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|; |a(rₙ₊₅)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₆)|; |a(rₙ₊₆)| ⫲ |a(rₙ₊₅)|⫲ |a(rₙ₊₄)| ⫲ |a(rₙ₊₃)| ⫲ |a(rₙ₊₂)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|; …
…; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x)|; |a(rₙ₌x)| ⫲ .. |a(rₙ₌₁)| ⫲...⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ) (6) ↔ (6)'.
Encore une fois nous remarquons que dans notre notation algébrique de l'expression de l'opération de suite récurrente de la déconcaténation double gauche, dont nous prenons l'exemple extrait de la notation algébrique ci-dessus, |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ; |a(rₙ₊₁)| ⫲ |a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| , la partie de l'expression écrite à gauche du point-virgule représente le reste des chiffres non déconcaténés du nombre déconcaténé comme indiqué par le rappelle de sa représentation algébrique complète, c'est-à-dire non concaténée, |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|, et les singletons de déconcaténation à la droite de cette représentation algébrique complète du nombre sont écrit dans l'ordre de leur déconcaténation successive avec le premier correspondant au chiffre déconcaténé en premier et le dernier singleton de déconcaténation le plus à droite donc correspondant au chiffre déconcaténé en dernier: ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ₊₁)| ; tandis que la partie de l'expression écrite à droite du point-virgule représente les chiffres déconcaténés qui sont représentés à gauche du nombre aussi représenté comme non déconcaténé, |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|, sont dans l'ordre dans lequel ils apparaissent avec tous les autres chiffres du nombre déconcaténé: |a(rₙ₊₁)a(rₙ₌₁)| parmi les autres chiffres du nombre noté |a(rₙ₌ₓ)a(rₙ₌ₓ₋₁)a(rₙ₊₆)a(rₙ₊₅)a(rₙ₊₄)a(rₙ₊₃)a(rₙ₊₂)a(rₙ₌₁)|.
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁(r)= |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|;
Aₙ₊₁(r)= (⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₂(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₃(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋);
Aₙ₊₄(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋);
Aₙ₊₅(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋);
Aₙ₊₆(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋);
Aₙ₊₇(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋);
Aₙ₊₈(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋);…
…Aₙ₌ₓ(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)⌋)=x;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x₋₁)|;
Aₙ₌ₓ₊₁(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ(r))-1⌋)⌋)=0;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ(r))-1⌋)=|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|) (6)'
⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV'ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫣｜｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=(|512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ; |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ; |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ;
|4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ;
|3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ;
|1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ;
|1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ;
|1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ;
|3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ;
|2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ;
|1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ;
|9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ;
|1|⫲|9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7| ; |7| ⫲ |1|⫲|9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1| ; |1| ⫲ |7| ⫲ |1|⫲|9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ; |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ;
|1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ;|1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9| ; |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ; |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ; |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5| ; |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5||⫲ |2| ; |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8| ⫲ |7| ⫲ |5||⫲ |2| ⫲ |1| ; |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415|;
|512578911217191231113415| ⫲ |5| ⫲ |1| ⫲ |4| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1|⫲ |7|⫲ |1|⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |9|⫲ |8 ⫲ |7| ⫲ |5||⫲ |2| ⫲ |1|⫲ |5|; |5| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |5| ⫲ |7| ⫲ |8| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |1| ⫲ |7| ⫲ |1| ⫲ |9| ⫲ |1| ⫲ |2| ⫲ |3| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |1| ⫲ |3| ⫲ |4| ⫲ |1| ⫲ |5| ⫲ |512578911217191231113415| ) (6) ↔ (6)'
｜⫣｜｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415| =Aₙ₌₁(r);
(⌊|512578911217191231113415| /10^(⌊Log(|512578911217191231113415| )⌋-⌊Log( |512578911217191231113415| )-1⌋)⌋)= |51257891121719123111341|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911217191231113415| )-1⌋)⌋*10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911217191231113415| )-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257891121719123111341|)-1⌋)⌋)=|5125789112171912311134|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257891121719123111341|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257891121719123111341|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125789112171912311134|)-1⌋)⌋)=|512578911217191231113|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125789112171912311134|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125789112171912311134|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911217191231113|)-1⌋)⌋)=|51257891121719123111|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512578911217191231113|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512578911217191231113|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257891121719123111|)-1⌋)⌋)=|5125789112171912311|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257891121719123111|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257891121719123111|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125789112171912311|)-1⌋)⌋)=|512578911217191231|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125789112171912311|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125789112171912311|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911217191231|)-1⌋)⌋)=|51257891121719123|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512578911217191231|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512578911217191231|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257891121719123|)-1⌋)⌋)=|5125789112171912|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257891121719123|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257891121719123|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125789112171912|)-1⌋)⌋)=|512578911217191|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125789112171912|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125789112171912|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911217191|)-1⌋)⌋)=|51257891121719|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512578911217191|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512578911217191|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257891121719|)-1⌋)⌋)=|5125789112171|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257891121719|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257891121719|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125789112171|)-1⌋)⌋)=|512578911217|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125789112171|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125789112171|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911217|)-1⌋)⌋)=|51257891121|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512578911217|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512578911217|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257891121|)-1⌋)⌋)=|5125789112|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257891121|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257891121|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125789112|)-1⌋)⌋)=|512578911|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125789112|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125789112|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578911|)-1⌋)⌋)=|51257891|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512578911|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512578911|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257891|)-1⌋)⌋)=|5125789|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257891|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257891|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125789|)-1⌋)⌋)=|512578|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125789|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125789|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512578|)-1⌋)⌋)=|51257|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512578|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512578|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51257|)-1⌋)⌋)=|5125|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51257|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51257|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5125|)-1⌋)⌋)=|512|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5125|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5125|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|512|)-1⌋)⌋)=|51|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(512|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊512|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|51|)-1⌋)⌋)=|5|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(51|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊51|)-1⌋);
(⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log( |512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(|5|)-1⌋)⌋)=|0|;
|512578911217191231113415|-⌊ |512578911217191231113415|/10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊Log(5|)-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|512578911217191231113415|)⌋-⌊5|)-1⌋)) (6)' ↔ (6)''
｜⫣｜｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415|;
|51257891121719123111341|; |5|; |5125789112171912311134|; |15|; |512578911217191231113|; |415|; |51257891121719123111|; |3415|; |5125789112171912311|; |13415|; |512578911217191231|;|113415|; |51257891121719123|; |1113415|; |5125789112171912|; |31113415|; |512578911217191|; |231113415|; |51257891121719|; |1231113415|; |5125789112171|; |91231113415|; |512578911217|; |191231113415|; |51257891121|; |7191231113415|; |5125789112|;
|17191231113415|; |512578911|; |217191231113415|; |51257891|; |1217191231113415|; |5125789|; |11217191231113415|; |512578|; |911217191231113415|; |51257|; |8911217191231113415|;
|5125|; |78911217191231113415|; |512|; |578911217191231113415|; |51|; |2578911217191231113415|; |5|; |12578911217191231113415|; 0; |512578911217191231113415| ) (6)''.
⁂
Comme précédemment pour l'exemplification de l'expression de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double droite augmentée, grâce à cette dernière expression exemplifiant l'opération de suite récurrente de déconcaténation double gauche, nous remarquons qu'en fait nous avons écrit l'expression simultanément de l'insertion avant-dernière et de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double gauche qui n'est pas exactement l'expression que nous recherchions, mais qui correspond à l'expression l'opération de suite récurrente de déconcaténation double gauche augmentée. Donc nous réécrivons alors, mais seulement aussi dans le chapitre 82 consacré aux autres opérations arithmétiques sur les chiffres, l'expression algébrique générale de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double gauche et comme elle est représentée avec le nombre concaténé écrit à la première et dernière étape calculatoire de la suite, alors nous appelons aussi cette suite récurrente de déconcaténation double gauche, "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double gauche, mais aussi, et surtout pour mieux la différencier de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation plus ordinaire consistant figurativement en fait en son corps uniquement c'est-à-dire correspondant figurativement soit sans le nombre déconcaténé écrit à la première et dernière étape calculatoire de la suite récurrente de déconcaténation double, ou soit avec seulement le nombre déconcaténé écrit à la première étape calculatoire de la suite récurrente de déconcaténation double gauche, et que nous notons et définissons respectivement pour le première et la deuxième de la façon suivante:
｜⫣｜｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)))i])=( |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ) (6') ↔ (6)'
｜⫣｜｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))i])=( |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ) (6'') ↔ (6)'
Donc maintenant nous réécrivons l'expression algébrique (6') et (6'') équivalente à l'expression (6)' ci-dessus, encore sous une forme algébrique donc générale, mais cette fois-ci numériquement calculable, de l'opération de suite récurrente de déconcaténation double gauche en deux parties, en commençant par la première réécriture de l'opération de suite récurrente double sous la forme de la tête et du corps seulement de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double gauche, c'est à dire sans la queue dans la tête de l'ouroborosuite correspondant figurativement soit aux deux dernières étapes calculatoires de la suite récurrente de déconcaténation double, qui sont l'avant-dernière étape résultante dans la valeur de 0 et la dernière étape résultante dans la valeur du nombre déconcaténé à l'origine, c'est-à-dire écrit à la première étape, et qui est doublement déconcaténé puis reconcaténé simultanément; ou correspondant aussi et dans la deuxièmes partie de la seconde réécriture de l'opération de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double, sans la première étape calculatoire de la suite récurrente, c'est-à-dire sans la tête figurativement correspondante au nombre à déconcaténé de la première étape calculatoire.
Comme précédemment nous appelons ces deux suites récurrente de déconcaténation double gauche d'un terme rajouté de non augmentée par rapport à ce que nous avions écrit et illustré par un exemple précédemment la suite de récurrence de déconcaténation double gauche augmentée, et nous définissons et notons cette première réécriture de l'opération de suite récurrente double gauche sous la forme de la tête et du corps seulement de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double gauche de la façon suivante en rappelant la notation précédente:
｜⫣｜｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)))i])=( |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ) ( (6') ↔ (6)' ) ↔ (6')' et que nous réécrivons donc comme précédemment, de la façon suivante:
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ))i])=(Aₙ₌₁(r)=|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|;
Aₙ₊₁(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(n))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₂(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₃(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋);
Aₙ₊₄(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋);
Aₙ₊₅(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋);
Aₙ₊₆(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋);
Aₙ₊₇ =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋)
; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋);
Aₙ₊₈(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋);…..
…Aₙ₌ₓ(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)⌋)=x;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₁(r))-1⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x₋₁)|) ) (6')'
⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''') ⇒ (1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV'ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫣｜｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=( |512578911217191231113415|;
|51257891121719123111341|; |5|; |5125789112171912311134|; |15|; |512578911217191231113|;
|415|; |51257891121719123111|; |3415|; |5125789112171912311|; |13415|; |512578911217191231|;|113415|; |51257891121719123|; |1113415|; |5125789112171912|; |31113415|; |512578911217191|; |231113415|; |51257891121719|; |1231113415|; |5125789112171|; |91231113415|; |512578911217|; |191231113415|; |51257891121|; |7191231113415|; |5125789112|; |5125|; |78911217191231113415|; |512|; |578911217191231113415|; |51|; |2578911217191231113415|; |5|; |12578911217191231113415| ) (6')'
⁂⁂
Puis nous définissons et notons dans cette deuxième partie la seconde réécriture de l'opération de "l'ouroborosuite" récurrente de déconcaténation double gauche, sans la première étape calculatoire de la suite récurrente, c'est-à-dire sans la tête figurativement correspondante au nombre à déconcaténé de la première étape calculatoire, ainsi que sans le dernier et l'avant-dernier terme de cette suite récurrente respectivement égaux à 0 et au nombre à déconcaténé à l'origine puis reconcaténé correspondant au dernier terme de la séquence, de la façon suivante en rappelant la notation précédente, soit:
｜⫣｜｜⫣｜(n=1→n=x: [(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))i])=( |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ⫲ |a(rₙ)| ; |a(rₙ)| ⫲ |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)| ) ((6'') ↔ (6)') ↔ (6'')'
｜⫣｜｜⫣｜(n=x → n=1: [(a(rₙ))i])=( Aₙ₌₁(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))-1⌋)*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁))-1⌋);
Aₙ₊₁(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₂(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₁(r))-1⌋);
Aₙ₊₃(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₂(r))-1⌋);
Aₙ₊₄(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₃(r))-1⌋);
Aₙ₊₅(r) =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₄(r))-1⌋);
Aₙ₊₆(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₅(r))-1⌋);
Aₙ₊₇ =(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋)
; |a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₆(r))-1⌋);
Aₙ₊₈(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋);
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₊₇(r))-1⌋);…..
…Aₙ₌ₓ₋₁(r)=(⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₂(r))-1⌋)⌋)=x;
|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|-⌊|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|/10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₂(r))-1⌋)⌋*10^(⌊Log(|a(rₙ₌ₓ→ₙ₌₁)|)⌋-⌊Log(Aₙ₌ₓ₋₂(r))-1⌋)=|a(rₙ₌₁→ₙ₌ₓ)| ⫲ a(rₙ₌₁)| ⫲ …⫲ |a(rₙ₌x₋₁)|) ) (6'')'
⁂
Reprenons encore l'exemple de la représentation séquentielle ensembliste de la suite de nombres que précédemment nous avons concaténés, et réécrivons exactement comme précédemment, soit la représentation ensembliste séquentielle correspondante aux éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), dont les chiffres de la partie décimale ont été concaténés avec les chiffres de la partie entière par l'application à ces éléments de l'opération CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ]) est notée comme suit:
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])=(CONCATENTDEC(0,5125); 7; CONCATENTDEC(0,8); CONCATENTDEC(0,9);CONCATENTDEC(0,1);
CONCATENTDEC(0,12); CONCATENTDEC(0,17); CONCATENTDEC(0,19);
CONCATENTDEC(0,1); CONCATENTDEC(0,2); CONCATENTDEC(0,3);
CONCATENTDEC(11); CONCATENTDEC(13); CONCATENTDEC(0.4);
CONCATENTDEC(15)) (2'') = (2''')
Seq(CONCATENTDEC(n=0→n=4: [(SeqVᵢ₌₁₅)ᵢ])ᵢ₌₁₅=SeqV'ᵢ₌₁₅=(5125; 7; 8; 9; 1; 12; 17; 19; 1; 2; 3; 11; 13; 4; 15) (2''')⇒(1₁₆)'
｜｜( n=1 → n=15: [(SeqVᵢ₌₁₅)] )=｜｜(n=1 → n=24: [(|a(rₙ₌₁→ₙ₌₂₄)|)] )=SeqV'ᵢ₌₁=(
512578911217191231113415) (1₁₆)', alors nous écrivons que l'expression de l'opération de la suite récurrente de déconcaténation double gauche des éléments de SeqVᵢ₌₁₅=(0,5125; 0,7; 0,8; 0,9; 0,1; 0,12; 0,17; 0,19; 0,1; 0,2; 0,3; 11; 13; 0,4; 15), est représentée comme suit:
｜⫣｜｜⫣｜(n=24→n=1: [(a(rₙ))i])=( |51257891121719123111341|; |5|;
|5125789112171912311134|; |15|; |512578911217191231113|; |415|; |51257891121719123111|; |3415|; |5125789112171912311|; |13415|; |512578911217191231| ;|113415|;
|51257891121719123|; |1113415|; |5125789112171912|; |31113415|; |512578911217191|; |231113415|; |51257891121719|; |1231113415|; |5125789112171|; |91231113415|; |512578911217|; |191231113415|; |51257891121|; |7191231113415|; |5125789112|; |5125|;
|78911217191231113415|; |512|; |578911217191231113415|; |51|; |2578911217191231113415|; |5|; |12578911217191231113415| ) (6'')'
⁂⁂⁂ ⁂⁂⁂ ⁂⁂⁂
SeqYB'ᵢ₌₁=(10000000190000013015)
Seq(YBᵢ₌₁₅; (1·0·0·0.0·0·0·0; 19·0·0·0·0·0; 13·0))ᵢ₌₄ (b₆) ↔ (b₆)'
SeqYBᵢ₌₁₅ =(1∣∣0000000; 19∣∣0000; 13∣∣0; 15) (b₆)' ↔ (b₆)''
SeqYBᵢ₌₄=(10000000; 1900000; 130; 15) * SeqYBᵢ₌₄=(1/10000000; 1/100000; 1/10; 1) (b₇) ↔ (b₇)'
SeqYBᵢ₌₄=(10000000*1/10000000; 1900000*1/100000; 130*1/10; 15*1) (b₇)' ↔ (b₇)''
SeqYBᵢ₌₄=(1; 19; 13; 15) (b₇)'' ⇒ (b₈)
Seq(YBᵢ₌₄; (1·19))ᵢ₌₃=SeqYBᵢ₌₃=(1·19; 13; 15) (b₈) ↔ (b₈) '
SeqYBᵢ₌₃=(119; 13; 15) (b₈) '⇒ (b₉)
SeqYBᵢ₌₃=(119; 13; 15) * SeqYBᵢ₌₃=(19/119; 1; 1) (b₉) ↔ (b₉)'
SeqYBᵢ₌₃=(119*19/119; 13; 15) (b₉)' ↔ (b₉)''
SeqYBᵢ₌₃=(19; 13; 15) (b₉)''
⁂⁂⁂
2.4) Les expressions algébriques numériques des opérations ensemblistes séquentielles de compression élimination, de compression, de décompression élimination et de décompression
⁂⁂⁂
2.5) Expressions et applications algébriques numériques particulières de l'opération ensembliste séquentielle d'addition concaténant et réordonnant ou l'opération ensembliste séquentielle de rangement croissant
⁂
Mais c'est donc plutôt par le résultat de l'opération ensembliste séquentielle d'addition distribuée notée SeqAᵢ₌₂=(1; 2) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4)=Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6), puis une ou plusieurs opérations ensemblistes séquentielles sur Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) résultant dans Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), de la façon suivante:
- Nous additionnant partiellement par le premier élément de la séquence SeqAᵢ₌₂=(1; 2), Seq(XA)ᵢ₌₁=(1) avec les éléments de SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) pour obtenir la séquence Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(1+1; 1+2; 1+4)=(2; 3; 5), soit:
(Seq(XA)ᵢ₌₁=(1) ⊔ (SeqYᵢ₌₂=(1; 0) * SeqAᵢ₌₂=(1; 2) + SeqY'ᵢ₌₂=(0; 1)) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) (3) = (3)'
=Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(1;1;1) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) (3)' = (3)''
= Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(1+1; 1+2; 1+4) (3)'' = (3)'''
=Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(2; 3; 5) (3)'''
- Nous additionnant ensuite toujours partiellement par le deuxième élément de la séquence SeqAᵢ₌₂=(1; 2), Seq(AZ)ᵢ₌₁=(2) avec les éléments de SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) pour obtenir la séquence Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(2+1; 2+2; 2+4)=(3; 4; 6), soit:
Seq(AZ)ᵢ₌₁=(2) ⊔ ( SeqWᵢ₌₂=(0; 1)*SeqAᵢ₌₂=(1; 2)+SeqAᵢ₌₂=(2; 0)) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) (4)= (4)'
= SeqAᵢ₌₃=(2; 2; 2) + SeqBᵢ₌₃=(1; 2; 4) (4)=(4)'
= Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(2+1; 2+2; 2+4) (4)=(4)'
=Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(3; 4; 6) (4)=(4)'
- Ensuite la concaténation des ensembles séquentiels et Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(2; 3; 5) et Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(3; 4; 6) nous permet d'obtenir l'avant-dernière séquence, soit Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) comme suit:
Seq(XA+B)ᵢ₌₃=(2; 3; 5) ⋆⊔ Seq(AZ+B)ᵢ₌₃=(3; 4; 6)=Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) (5)
- Enfin pour effectuer l'opération ensembliste séquentielle d'annulation des doublons et de réagencement de l'ordre des éléments nous effectuons l'opération d'annulation des éléments de l'ensemble séquentiel Seq(A+· B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6), résultant ainsi dans la dernière séquence, et sans utiliser le résultat final dans le calcul de nos expressions pour l'obtenir, et en considérant l'extension de l'opération ensembliste séquentielle de la concaténation des ensembles séquences aux éléments eux-mêmes d'un ensemble séquence, qui est notée en général pour deux ensembles séquences, Seq(A·B)ᵢ= ({xy : x ∈ A ∧ y ∈ B }), et pour un seul ensemble qui est noté Seq(A; x·x')ᵢ=({xx' : x ∈ A ∧ x' ∈ A }), c'est-à-dire de la façon suivante :
Seq(A+B)ᵢ₌₆=(2; 3; 5; 3; 4; 6) + Seq(H)ᵢ₌₆=(0; 0; -1; 2; 0; -6) (6)= (6)'
=Seq(AHB)ᵢ₌₆=(2; 3; 4; 5; 6; 0) (6)' ⇒ (7)
Seq(AHB;6·0)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6·0) (7) = (7)'
=Seq(A+B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 60) (7)' ⇒ (8)
Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 60)*Seq({1;1/10})ᵢ₌₅=(1;1;1;1;1/10) (8) = (8)'
Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2*1; 3*1; 4*1; 5*1; 60*1/10)=Seq(A+·B)ᵢ₌₅=(2; 3; 4; 5; 6) (8)'
⁂
| | q∣∣a q⫲a ⫳ q⫳a ⫳⫴⫵‖ ⦀⫣⫣⫦⫦ ∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔⱼ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ
⁂
| | q∣∣a q⫲a ⫳ q⫳a ⫳⫴⫵‖ ⦀⫣⫣⫦⫦ ∀∈⌊⌋⌈⌉; ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔⱼ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ
⁂
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎ ₐ ₑ ₒ ₓ ₔⱼ ₕ ₖ ₗ ₘ ₙ ₚ ₛ ₜ
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₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎
₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ₊ ₋ ₌ ₍ ₎